Trouver la base propre de la matrice $$\begin{pmatrix}1&1\\ 1&2\end{pmatrix}$$
Racines du polynôme caractéristique
$$\begin{align}\begin{vmatrix}1-\lambda&1\\ 1&2-\lambda\end{vmatrix}=\lambda^2-3\lambda+1\end{align}$$
Les racines sont $$\frac{3-\sqrt5}{2}\quad\text{ et }\quad\frac{3+\sqrt5}2$$
On cherche le vecteur propre pour \(\frac{3-\sqrt5}2\) $$\begin{cases}\frac{-1+\sqrt5}2x+y=0\\ x+\frac{1+\sqrt5}2y=0\end{cases}$$
On sait que les deux équations sont proportionnelles car il existe un vecteur propre
On prend \(u\binom1{\frac{1-\sqrt5}2}\)
De même pour \(\frac{3+\sqrt5}2\), on a \(v\binom1{\frac{1+\sqrt5}2}\)
